وب نوشته های مهرداد نجف پور

تقسیم اعداد

2010-07-27T13:32:22+01:00

با توجه به ضرورت تعیین باقی مانده تقسیم به طور سریع و نبود جمع بندی کاملی از این مطلب لازم دیدم تا چند نکته را بیان کنم . امیدوارم به دردتون بخوره.

نکته 1:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر 2 ،5 ،10 آخرین رقم آن عدد از سمت راست را بر 2 ، 5 ،10 تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر5 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر5 همان باقی مانده تقسیم 9 بر5 یعنی 4 است.

نکته 2:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر 3 ،9 یک رقم یک رقم از سمت راست جدا می کنیم و مجموع آن ها را بر 3 ، 9 تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر3 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر3 همان باقی مانده تقسیم 45 بر3 یعنی 0 است.

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

نکته 3:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر 11 یک رقم یک رقم از سمت راست جدا می کنیم وبه ترتیب تفریق و جمع می کنیم و حاصل را بر 11تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر11 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر11 همان باقی مانده تقسیم 5 بر11 یعنی 5 است.

9-8+7-6+5-4+3-2+1=5

نکته 4:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر 4،20 ،25 ،50 ،100 دو رقم آخر از سمت را بر 4،20 ،25 ،50 ، 100تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر 20 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر20 همان باقی مانده تقسیم 89 بر20 یعنی 9 است.

نکته 5:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر33 ، 99 دو رقم دو رقم از سمت راست جدا می کنیم و مجموع آن ها را بر 33 ، 99 تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر 33 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر33 همان باقی مانده تقسیم 225 بر33 یعنی 27 است.

89+67+45+23+1=225

نکته 6:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر 101 دو رقم دو رقم از سمت راست جدا می کنیم وبه ترتیب تفریق و جمع می کنیم و حاصل را بر 101تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر101 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر101 همان باقی مانده تقسیم 45 بر101 یعنی 45 است.

89-67+45-23+1=45

نکته 7:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر 8 ، 40 ،125 ،200 ،250 ،500 ،1000 سه رقم آخر از سمت را بر 8 ، 40 ،125 ،200 ،250 ،500 ،1000تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر 125 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر125 همان باقی مانده تقسیم 789 بر125 یعنی 39 است.

نکته 8:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر27 ،37 ، 111 ،333 ،999 سه رقم سه رقم از سمت راست جدا می کنیم و مجموع آن ها را بر 27 ،37 ، 111 ،333 ،999 تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر 37 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر37 همان باقی مانده تقسیم 367 بر1368 یعنی 36 است.

789+456+123=1368

نکته 9:برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم یک عدد بر 7 و 13و 77و91و143و1001 سه رقم سه رقم از سمت راست جدا می کنیم وبه ترتیب تفریق و جمع می کنیم و حاصل را بر 7 و 13و 77و91و143و1001 تقسیم می کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم123456789 بر91 چند است؟

جواب: باقی مانده تقسیم123456789 بر91 همان باقی مانده تقسیم 456 بر91 یعنی 1 است.

789-456+123=456

نکته 10:باقی مانده تقسیم یک عدد بر6 کافی است رقم یکان آن را با 4 برابر مجموع ارقام دیکر جمع کنیم و حاصل را بر 6 تقسیم کنیم.

مثال: باقی مانده تقسیم 123456789 را بر 6 بیابید؟

حل:

9+4(1+2+3+4+5+6+7+8)=153

3+4(1+5)=27

جواب نهایی 3 است.

نکته11:باقی مانده تقسیم یک عدد که به صورت یک عدد فرد به توان یک عدد زوج است بر 2 ،4 ،8 برابر 1 است.

دانلود کتاب جدید حسابان (نسخه1 غیر قابل استناد)

2010-07-10T13:04:36+01:00

کتاب جدید حسابان سال سوم دبیرستان رشته ریاضی شامل 6 فصل به شر زیر است.

فصل اول:عبارات جبری و معادلات و نامعادلات (دانلود مستقیم)

بخش 1: تقسیم چند جمله ای ها و بخش پذیری

بخش 2:بسط دو جمله ای و مثلث خیام-پاسکال

بخش 3:بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک

بخش 4:معادلات

بخش 5:معادلات دو مجذوری

بخش 6:معادلات شامل عبارات گویا

بخش 7:معادلات شامل عبارات گنگ

بخش 8:حل معادلات به روش هندسی

بخش 9:قدرمطلق و ویژگی های آن

بخش 10:معادلات قدر مطلقی

بخش 11:نامعادلات

بخش 12:نامعادلات کسری(گویا)

بخش 13:نامعادلات گنگ

بخش 14:نامعادلات قدرمطلقی

بخش 15:حل نامعادلات از طریق نموداری (هندسی)

فصل دوم:تابع (دانلود مستقیم)

بخش 1:تابع ، یاد آوری و تکمیل

بخش 2:تساوی توابع

بخش 3:توابع چند ضابطه ای

بخش 4:معادلات و توابع

بخش 5:رسم نمودار توابع

بخش 6:اعمال جبری روی توابع

بخش 7:ترکیب توابع

بخش 8:توابع زوج و فرد

بخش 9:توابع صعودی و توابع نزولی

بخش 10:تابع وارون

بخش 11:توابع چند جمله ای

بخش 12:توابع متناوب

بخش 13:توابع پله ای و تابع جزء صحیح

فصل سوم: مثلثات (دانلود مستقیم)

بخش 1:توابع مثلثاتی

بخش 2:اتحاد های مثلثاتی

بخش 3:معادلات مثلثاتی

بخش 4:روش جبری حل معادلات مثلثاتی

بخش 5:روش نموداری حل معادلات مثلثاتی

بخش 6:تابع وارون مثلثاتی

فصل چهارم:حد دنباله ها و بسط اعشاری اعداد (دانلود مستقیم)

بخش 1:مجموع جملات دنباله های حسابی و هندسی

بخش 2:حد دنباله ها

بخش 3:بسط اعشاری اعداد حقیقی

فصل پنجم:حد توابع و پیوستگی (دانلود مستقیم)

بخش 1:حد توابع

بخش 2:حد چپ و راست

بخش 3:همسایگی های یک نقطه

بخش 4:پیوستگی

بخش 5:قضایای حد توابع

بخش 6:محاسبه حد در توابع کسری

فصل ششم:مشتق توابع (دانلود مستقیم)

بخش 1:خط مماس برمنحنی ها و مشتق توابع

بخش 2:روش های محاسبه مشتق توابع

بخش 3:سرعت حرکت و مشتق توابع

بخش 4:آهنگ تغییرومشتق توابع

بخش 5:سرعت صعود و نزول توابع و مشتق آن ها

بخش 6:مشتق توابع مثلثاتی

بخش 7:مشتق تابع وارون و توابع مرکب

تحقیقات 1

2010-06-15T13:58:08+01:00

بسم الله الرحمن الرحیم

فایل pdf و pps و گزارشی از ارائه تحقیق پیرامون "اعداد جبری ، اعداد متعالی و تثلیث زاویه" به محض آماده شدن در وبلاگ های زیر قرار می گیرد.

http://mehrdad-n12.mihanblog.com

http://math03.persianblog.ir

http://autmath.blogfa.com

مهرداد نجف پور 25 خرداد1389

نمونه سوالات

2010-04-25T02:44:38+01:00

ریاضی2

سری اول:دانشگاه صنعتی امیرکبیر

سری دوم:دانشگاه صنعتی اصفهان(244 سوال)-pdf

دانلود 3

2010-04-20T02:09:31+01:00

تابع چند متغیرهpdf

برای دانلود اینجا کلیک کنید.

منبع:شبكه رشد

ارتباط هنر و ریاضی

2010-04-13T02:24:39+01:00

هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه ی سر سبز آرامش خود را باز می یابد ، در عین حال ، به فکر فرو می رود . شاعر احساس درونی خود را بیان می کند . نقاش با قلم و بوم خود تلاش می کند که دیگران را در شادی خود شریک کند .
گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر در رده های خاصی می رود . زبان شناس می خواهد ریشه و سر چشمه ی نام گذاری گیاه و دلیل آن را پیدا کند . داروشناس در جستجوی ویژگی درمانی گیاه است و ریاضی دان نحوه ی قرار گرفتن گل و گلبرگ ها یا اندازه و شکل ها را مورد مطالعه قرار می دهد . ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان و اگر بخواهیم برخورد انسان با گیاه را بررسی کنیم ناچاریم ، به همه ی این جنبه ها توجه داشته باشیم .

ریاضیات و رابطه آن با هنر

" اشر" نقاش معروف هلندی در سال 1971 میلادی در سن 72 سالگی و یک سال پیش از مرگ خود نوشت :
«وقتی که هوشمندانه با رمز و راز های دور و بر خود برخورد کردم و وقتی به تجزیه و تحلیل مشاهده های خود پرداختم ، به ریاضیات رسیدم . من آموزش جدی در دانش ندیده ام ولی گمان می کنم بیش تر با یک ریاضی دان وجه مشترک داشته باشم تا با یک هنرمند .»
" رودن" (1840- 1917 ) مجسمه ساز مشهور فرانسوی می گوید :
«من یک رویا پرداز نیستم ، بلکه یک ریاضی دان ام . مجسمه های من تنها به خاطر این خوب اند که ساخته و پرداخته ی اندیشه ی ریاضی اند».
از آن طرف "ج.ه هاردی" ریاضی دان انگلیسی معتقد است :
«معیار ریاضی دان مانند معیار نقاس یا شاعر ، زیبایی است . اندیشه ها هم مانند رنگ ها یا واژه ها باید در هماهنگی کامل و سازگار با یکدیگر باشند . زیبایی نخستین معیار سنجش است . »

جایگاه هنر در درس ریاضی
اگر این را بپذیریم که ، تصور و خیال ، یکی از سرچشمه های اصلی آفرینش های هنری است ، آن وقت ناچاریم قبول کنیم که ، در ریاضیات هم ، دست کم عنصر های زیبایی و هنر وجود دارد چرا که مایه ی اصلی کشف های ریاضی ، همان تصور و خیال است .
به قول ولادیمیر ایلیچ نویسنده ی « دفاتر فلسفی » ، تصور و خیال « حتی در ریاضیات هم لازم است ، حتی کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال هم ، بدون تصور و خیال ، ممکن نبود ».
با هیچ نیرنگی ، نمی توان از کشش انسان ها به سمت زیبایی ها جلوگیری کرد و آن چه زشت و نازیبا است را جانشین زیبایی ها کرد .
آدمی ، از همان روزهایی که می شنود ، می بیند و درک می کند ، از موسیقی و تقاشی و شعر لذت می برد و چه به صورت لالایی مادر باشد یا آهنگ گوش نواز چایکووسکی ، چه بیتی عامیانه و کوچه باغی باشد یا سرودی از لسان الغیب ، چه هنرمندانه قالی های دست باف باشد و چه ظرافت ها و رنگ های چشم نواز بهزاد و کمال الملک ، همه جا انسان را به سوی خود می کشاند و غرق در آرامش و لذت می کند . ولی همه ی این ها ، یک شرط اساسی دارد و آن ، این است که با آفریده ای از یک استاد هنرمند سروکار داشته باشید و گرنه ، حرکت ناشیانه ی آرشه بر ویلون ، روح شما را می آزارد و ردیف
بی ربط واژه های شعر سخن ناشناس ، شما را بیزار و کسل کند . در واقع تمامی عرصه ی ریاضیات ، سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان ، در شیوه ی بیان موضوع ، در طرز نوشتن ارائه ی آن ، در استدلال های منطقی آن ، در رابطه ی آن با زندگی و واقعیت ، در سر گذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد .
هندسه ، به مفهوم عام آن ، زمینه ای است سر شار از زیبایی ، می گویند . افلاطون ، تقارن را مظهر و معیار زیبایی می دانست و چون ، گمان می کرد تنها هندسه است که می تواند رازهای هندسه را بر ملا کند و از ویژگی های آن برای ما سخن بگوید ، به هندسه عشق می ورزید و بر سر در آکادمی خود نوشته بود : « هر کس هندسه نمی داند وارد نشود » .
و هنوز هم ، با آن که هنر کوبیسم بسیاری از سنت ها را درهم شکست و زیبایی های خیره کننده ی
نا متقارنی را آفرید ، باز هم از قدر و قیمت تقارن چیزی نکاست ، و چه مردم عادی و چه صاحب نظران ، همچنان اوج زیبایی را در تقارن و تکرار می بینند . شاید بتوان گفت که کوبیسم ، مفهوم زیبایی ناشی
از تقارن را ، گسترش داده و تکامل بخشیده است .

هندسه ، همچون دیگر شاخه های ریاضیات ، زاده ی نیازهای آدمی است ، ولی در این هم نمی توان تردید کرد که ، در کنار سایر عامل ها یکی از علت های جدا شدن هندسه از عمل و زندگی و شکل گیری آن به عنوان یک دانش انتزاعی ، کشش طبیعی آدمی به سمت زیبایی و نظم بوده است . و هرچه هندسه تکامل بیشتری پیدا کرده و عرصه های تازه ای را گشوده ، نظم و زیبایی خیره کننده ی آن ، افزون تر شده است .
از همین جا است که ، یکی از راه های شناخت زیبایی ریاضیات و به خصوص هندسه ، آگاهی بر نحوه ی پیشرفت و تکامل آن است . مفهوم نقطه و خط راست ، از کجا آغاز شد و چگونه از فراز و نشیب ها گذشت ، تا به ظرافت و شکنندگی امروز رسید . ما در طبیعت دور و بر خود ، نه تنها نقطه و خط راست هندسی ، بلکه دایره مستطیل و کره و متوازی السطوح هم به معنای انتزاعی خود نمی بینیم .
این ذهن زیبا جو و در عین حال ، آفریننده ی انسان بوده است که چنین شکل ها و جسم های به غایت ظریف و زیبا را ابداع کرده است و سپس کاربرد های عملی زیبا تری هم برای آن ها یافته است .و در همین جا است که می توان جنبه ی دیگری از زیبایی ریاضیات را جست و جو کرد . ریاضیات با همه ی انتزاعی بودن خود ، بر همه ی دانش ها حکومت می کند و جزء قانون های آن ، همچون ابزاری نیرومند دانش های طبیعی و اجتماعی را صیقل می دهد و به پیش می برد ، تفسیر می کند و در خدمت انسان قرار می دهد .
با چند ضلعی های محدب منتظم ، که نمونه های جالبی از شکل های متقارن اند ، می توان تصویر های جالب و زیبایی به دست آورد . ولی جالب تر از آن ها ، چند ضلعی منتظم مقعر ، یا چند ضلعی منتظم ستاره ای اند . ساده ترین آن ها ، یعنی پنج ضلعی منتظم ستاره ای را به سادگی می توان رسم کرد . بررسی ویژگی های چند ضلعی های منتظم ( محدب و مقعر ) و بدست آوردن شکل های ترکیبی از آن ها ، زمینه ی گسترده ای برای جلب دانش آموزان ، به زیبایی های درس های ریاضی است . از آن جالب تر ، کار با چند وجهی های منتظم است .
نشان دادن فیلم ها و اسلاید ها از چند وجهی های افلاتونی و چند وجهی های نیمه منتظم ، یه ویژه اگر همراه با توضیح ساختمان بلور ها و دانه های برف باشد ، می توانند وسیله ی بسیار خوبی ، برای بیدار کردن احساس زیبایی دوستی دانش آموزان باشد . ولی نباید گمان کرد که در اشکال نا منتظم نمی توان زیبایی ها را جست جو کرد .نسبت ها و اندازه گیری ها ، زمینه ی بسیار مساعدی است که می تواند موجب رشد احساس زیبایی شناسی دانش آموزان بشود و آن ها را به طرف ریاضیات جلب کند . مسأله های مربوط به ماکزیمم و می نیمم یکی از جالب ترین و دلکش ترین زمینه ها در هندسه است که ، نه تنها نیروی تفکر و استدلال دانش آموز را بالا می برد ، بلکه در ضمن ، احساس هنری و زیبا شناسی او را هم بیدار می نماید .
در هندسه وقتی پاره خطی را طوری به دو بخش تقسیم کنیم که مجذور بخش بزرگتربرابر با حاصل ضرب تمام پاره خط در بخش کوچکتر باشد ، می گویند که : « پاره خط را به نسبت زرین تقسیم کردیم . » تقسیم پاره خط به نسبت زرین» از دوران یونان باستان شناخته شده بوده است و ریاضی دانان یونان باستان مستطیلی را که روی این دو بخش پاره خط ساخته شود زیباترین مستطیل می دانسته اند و آزمایش فوق توانست درستی نظر ریاضی دانان باستانی را تایید کند .
درباره ی نسبت زرین باید یاد آوری کرد که از همان دوران باستان ، از این نسبت در مجسمه سازی و معماری به فراوانی استفاده می کرده اند . از همان دوران باستان ریاضی دانان در جست و جوی زیباترین راه حل برای مسأله ها بوده اند . در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می کنند معلم ابتدا مسأله را به طریق عادی حل می کند و سپس راه حل هوشمندانه و سادهای را برای حل مسأله وجود دارد ، به دانش آموزان نشان می دهند . از ساده ترین مسأله هایی که در دبستان مطرح می شود ، تا دشوارترین مسأله های سال آخر دبیرستان ، می توان از این شیوه استفاده کرد .

زیبایی شناسی در درس ریاضی
علاقه به هنر و توجه به زیبایی های طبیعت و زندگی یکی از جنبه های شخصیت انسانی را تشکیل می دهد و این علاقه را می توان ، و باید از همان سال های نخست تحصیل ، شکل دادو تقویت کرد . مبارزه با زیبایی و کشاندن کودکان و نوجوانان به سمت پدیده های اندوه بار و تلاش برای دور نگه داشتن آنها از زیبایی های درون و بیرون خود ، به معنای ستیز با طبیعت انسانی آن هاست ودر بهترین صورت خود موجب یأس و سرخوردگی و یا عصیان و بی بند و باری می شود .
درس های ریاضی می تواند نقش عمده ای در شکوفایی زیبایی شناسی داشته باشد و معلم با تجربه می تواند از هر فرصتی برای تقویت درک هنری دانش آموزان استفاده کند و ظرافت بیشتری به روحیه ی زیبا شناسی آن ها بدهد . کودکان و نوجوانان هر چیز جالب را دوست دارندو در ریاضیات ، موضوع های جالب و زیبا ،فراوان است .
ریاضیات دانشی است منطقی ، دقیق و قانع کننده و همه ی بخش های آن ، مثل حلقه های زنجیر به هم پیوسته اند. سرچشمه ی تأثیر احساسی و هنری ریاضیات را ، باید در قطعی بودن نتیجه گیری ها و عام بودن کاربردهای آن و هم چنین ، در کامل بودن زبان ریاضیات ، شاعرانه بودن تاریخ آن و در مسأله های معمایی و سرگرم کننده ، جستجو کرد.

دانلود 2

2010-04-06T23:00:00+01:00

اسطوره ریاضی و نجوم pdf

برای دانلود اینجا کلیک کنید.

تنگرام (Tangram)

2010-04-05T23:00:00+01:00

به زبان ساده تنگرام (Tangram) عبارت است از یک معمای چینی که می گوید یک مربع را می توان به ۵ مثلث، یک مربع و یک لوزی چنان کاهش داد، طوری که طرز آرایش این اشکال در کنار هم می تواند متفاوت از هم باشد، ولی در کل شکل نهایی یک مربع است. این تعریف کمی گنگ است، لذا به سراغ جستار فنی تر می رویم:

تنگرام، ترکیبی از قطعات چندضلعی صفحه مانندی است به نحوی که اضلاع این چندضلعی ها منطبق بر همدیگر هستند. در کل ۱۳ تنگرام محدب وجود دارد (یک تنگرام محدب شامل یک مجموعه از قطعات تنگرام است که در یک چند ضلعی محدب (convex polygon) مانند مربع چیده شده اند).

جالب است بدانید که شکل راست در زیر (مربوط به یک تنگرام با اجزای رنگ شده) علامت ویژه یا به اصطلاح لوگوی شرکت خدمات آب و برق ... Illinois Power در آمریکا است.

دانلود 1

2010-04-05T05:19:14+01:00

اصول اقلیدوسpdf

برای دانلود اینجا کلیک کنید.

ویژگیهای 13

2010-04-04T23:00:00+01:00

عدد 13 از دوران قدیم ویژگی خاصی داشت ؛ نحس یا مقدس.ولی چیزی که در ریاضیات از این عدد می دانیم هیچ کدام از اینها نیست بلکه این عدد هم مثل بقیه اعداد فقط یک عدد است.ولی بعضی ها تحت تاثیر خرافات قرار گرفته اند و بعضی خواص ریاضی این عدد را پیدا کرده اند .به هر حال این خواص هیچ ربطی به نحس و مقدس بودن 13 ( البته به نظر من) ندارد.

آنچه در ادامه خواهید خواند جادوی 13 است كه به نظر جالب می رسد !!!

● 13 عدد اول است.

● 1-13^۲ عدد اول مرسن است.

● 13جسم ارشمیدسی موجود است. (اجسام ارشمیدسی اجسامی هستند كه وجوه آنها چند ضلعی بوده، نه لزوما از یك نوع ، و كنجهای آنها مساوی هستند.)

● عدد 13كوچكترین Emirp است. (Emirp عدد اولی است كه اگر ارقام آن را معكوس كنیم مجددا عددی اول خواهد بود مثلا اعداد 13، 17،31، 37،.....)

● 169=13^۲ بامعكوس كردن ارقام آن داریم:

961="2^31 یعنی رقم های آن مجددا معكوس می شود."

●2^13، 1+!12 را عاد می‌كند.

● 13عدد Happy است.(برای دانستن این كه عددی Happy است، مجموع مربعات رقمهای عدد را پیدا كرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب می‌كنیم با ادامه این روند اگر به عدد 1 دست پیدا كردیم آنگاه به آن عدد Happy گفته می‌شود. مثلا برای عدد سیزده 10="2^3+2^1 و 1=2^0+2^1 بنابراین13" عدد Happyاست.)

● 13نیمی از 3^3+ 3^1- است.

●شاخه زیتونی كه در پشت دلارهای آمریكا كشیده شده است 13 برگ دارد.

●2^13عدد !(1 -13)+ 1را عاد می‌كند بنابراین یك عدد اول ویلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اول p كه،p و p^2، مقدار p-1)!+1 ) را عاد كنند، عدد اول ویلسون نامیده می‌شود. مثلا عدد 5 عدد ویلسون است. تنها اعداد شناخته شده 5 و 13و 563 است .)

●چرتكه چینی دارای سیزده ستون مهره‌ برای محاسبات است.

● 13بزرگترین عدد اولی است كه می تواند به دو عدد متوالی به صورت n^2+3 افراز می شود.(آیا می توانید اثبات کنید؟)

● 1+13- 13^13 عدد اول است.

● نخستین حفره‌ی اول با طول سیزده بین دو عدد 113و 127اتفاق می‌افتد. (منظور از حفره‌ی اول تعداد اعداد مركب بین دوعدد اول متوالی است.)

● 13 كوچكترین عدد اول جایگشت‌پذیر (Permutable Number) است. ( این اعداد، اعداد اولی حداقل با دو رقم مجزا هستند كه با تجدید آرایش در رقم هایشان همچنان عددی اول باقی می مانند مثلا برای عدد 337 ، 733 و 373 و 337 عدد اول است از دیگر اعداد از این قسم می‌توان به 13,17,37,79,113,119و جایگشتهای آن اشاره كرد.)

● هشت عدد اول دیگر می‌تواند به وسیله تغییر یك رقم از 13 تولید شود.{11, 17, 19, 23, 43, 53, 73, 83}

● نخستین بار پرچم امریكا 13 ستاره و 13 خط داشت كه نشان دهنده تعداد مستعمرات اصلی این كشور بود.

● عدد 13 كوچكترین عددی است كه ارقام آن در پایه چهار معكوس 13 است. ( 13 در پایه چهار 31 است.)

● رویه‌ی بیضوی روی اعداد گویا كه دارای نقطه‌ی گویا از مرتبه‌ی 13 باشد موجود نیست.

● 2^13= 19+...+8+7

● عدد 2^13توسط مربعات مجزای اعداد 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 بیان می‌شود.

●طولانی ترین ركورد پرواز یك جوجه 13 ثانیه است .

هندسه موسیقی

2010-04-04T02:38:47+01:00

مطلب زیر بریده‌ای از یك نوشتار بلند پیرامون مبانی نظری موسیقی در تمدن اسلامی است. این مطلب به ریشه‌های و تاثیرات تفكر یونانی بر فرهنگ موسیقایی اسلامی می‌پردازد.

در بررسی تاریخ موسیقی در تمدن اسلامی، گام اول اشارتی نه چندان گذرا به فرهنگ و فلسفه یونانی است. این گام ضروری است زیرا در این معنا تردیدی وجود ندارد كه تاثیرپذیری فلسفه و كلام اسلامی از اندیشه‌های فلاسفه یونانی، نقش مهمی در رویكرد به موسیقی در تاریخ تفكر و تمدن اسلامی داشته است. نظرگاههای خاص «اخوان الصفا» و عرفای بزرگی چون «مولانا محمد جلال الدین رومی » در مورد موسیقی و سماع، بازتابی از دیدگاه های فیثاغورثیان پیرامون موسیقی است.

بررسی تاریخی موسیقی با فیثاغورث آغاز می‌شود. فیلسوف نام‌آور جزیره «ساموس» كه در سال 532 قبل از میلاد به دنیا آمد و از بنیانگذاران اولین انجمن فلسفی عرفانی در زندگی انسان غربی است.

«كاپلستون » در «تاریخ فلسفه» معتقد است، محور افكار و اعمال فیثاغورثیان تزكیه و تطهیر بود. آنها عوامل وصول بدین تطهیر و تزكیه را، تمرین سكوت، موسیقی و مطالعه ریاضیات می‌دانستند. همنشینی موسیقی و ریاضیات در ذهنیت فیثاغورثیان، ابواب معرفتی مهمی را بر ذهن و روح بشر گشود و در این میان موسیقی كه نسبت بسیار گسترد‌ه‌ای با عدد و هندسه داشت، عاملی برای عروج و صعود روح و ادراك رقص و چرخ افلاك توسط فیثاغورثیان شد.

فیثاغورثیان اولین كسانی بودند كه پی بردند می‌توان فواصل میان نتهای چنگ را با عدد بیان كرد. همچنین «فیثاغورث میان سازواره‌ای موسیقایی و ریاضیات رابطه‌ای اساسی یافت. ولی آنچه او كشف كرد بسیار دقیق و روشن بود. هر گاه تك تار كشیده‌ای را به ارتعاش درآوریم یك نت اصلی ایجاد می‌كند. نتهایی كه با این نت سازواره‌ای دارند با تقسیم تار به عده كاملا درستی از اجزای آن به دست می‌آیند، درست به دو جزء، درست به سه جزء، درست به چهار جزء. الی آخر. اگر نقطه ساكن تار، یا گره، بر یكی از این نقاط مشخص قرار نگیرد، صداناساز است... فیثاغورث دریافته بود كه نواهایی كه به گوش خوشایند هستند با تقسیمات طول تمام تار بر اعداد درست مطابقت دارند. این كشف برای فیثاغورثیان نیرویی عرفانی داشت. تطابق میان طبیعت و عدد آنچنان قوی بود كه اینان متقاعد شده بودند كه نه تنها صداهای طبیعت، بلكه همه ابعاد ممیز آن نیز، باید اعدادی ساده و بیانگر سازواره‌ای باشند. مثلا فیثاغورث و پیروانش بر این عقیده بودند كه مدارهای اجرام فلكی را ( كه به تصور یونانیان روی كر‌ه های بلورین به دور زمین گردش می‌كنند) با ربط دادن آنها به فاصله‌های موسیقی می‌توان حساب كرد.

احساس آنها چنین بود كه همه نظامهای موجود در طبیعت موسیقایی‌اند: از دید آنها گردش چرخ، موسیقی افلاك بود.»

فیثاغورثیان زمین را كروی می‌دانستند و معتقد بودند «نه تنها مركز جهان نیست بلكه زمین و سیارات همراه با خورشید گرد آتش مركزی یا «كانون جهان» كه با عدد یك، یكی گرفته می‌شد می‌گردند.»

تحلیل موسیقایی فیثاغورثیان در طول تاریخ مورد ستایش و در عین حال انتقاد برخی واقع شده است. لیكن اهمیت كار او در كشف نقش مهم اعداد در موسیقی و حساب بسیار قابل توجه و غیر قابل انكار است. برتراندراسل در این مورد می‌گوید:

«رابطه‌ای كه وی (فیثاغورث ) میان موسیقی و حساب پدید آورد هنوز در اصطلاحات ریاضی «معدل هارمونیك» و «تصاعد هارمونیك» به جای مانده است.» همچنین راسل معتقد است نسبت قوی میان ریاضیات و حقیقت، منشأ اعتقادات عرفانی و عقلانی در حیات انسان شده است: «به نظر من بزرگترین منشأ اعتقاد به حقیقت كامل و ابدی و نیز اعتقاد به عالم معقول و نامحسوس همان ریاضیات است. نظریات عرفانی درباره نسبت زمان و ابدیت نیز به وسیله ریاضیات مطلق تقویت می شود. زیرا كه اشیای ریاضی مانند اعداد اگر اصولا واقعیتی داشته باشند، ابدی هستند و در بستر زمان قرار ندارند چنین اشیای ابدی را می‌توان افكار خدا پنداشت؛ نظر به افلاطون كه می‌گوید خدا «مهندس»‌است و عقیده سر جیمز جینز كه می‌گوید خدا به علم حساب معتاد است از این جا آب می‌خورد، دین تعقلی در برابر دین اشراقی، از زمان فیثاغورث و خاصه از زمان افلاطون تاكنون متأثر از ریاضیات و اسلوب ریاضی بوده است، تركیب ریاضیات و الهیات كه با فیثاغورث آغاز شد، در یونان و قرون وسطی و عصر جدید تا شخص كانت صفت مشخص فلسفه دینی شد.»

این پیوستگی و پیوند میان ریاضیات، فلسفه، هنر، الهیات و عرفان بعدها عامل بسیار مهمی در شكل گیری هنر اسلامی شد.

در سطور پیشین ذكر شد كه نظریات فیثاغورثیان مورد انتقاد فلاسفه اسلامی چون فارابی، بوعلی سینا و بعدها «وین چن زوگالیله» - پدر گالیله- قرار گرفت. اما تحقیقات جدید نشان داده است استناد فیثاغورثیان به حساب و هندسه نه مبتنی بر الهیات یونانی كه مبتنی بر الهیات و اساطیر سومریان بوده است.

در این تحقیقات سعی بر این است كه بین نقش بسیار مهم فلسفه یونانی در شكل گیری موسیقی علمی و عددی و نیز انتقادهایی كه به اندیشه‌ فیثاغورثیان می‌شود، جمعی صورت گیرد. از یك سو افلاطون، «برجسته‌ترین اسطوره نگارهارمونیك غرب» لقب می‌گیرد و از سوی دیگر مبانی فكری او مستند به كشفیات ریاضی- موسیقایی سومریان می‌شود. بدین ترتیب این تحقیقات فیثاغورثیان را دور می‌زند.

از جمله این محققان جدید، «ارنست جی مك كلین» است. وی ضمن ذكر انتقادات وین چن زوگالیله به نظریات داستان جذاب ارتباط موسیقی و كیهان شناسی» خود برمی‌گزیند. از دیدگاه وی افلاطون به عنوان برجسته‌ترین اسطوره‌نگار هارمونیك، متأثر از ریاضیات سومری است. وی می‌گوید: «باید بدانیم كه مجبوریم تئوری اعداد مربوط به موسیقی را به صورت سنگریزه‌های مثلث شكل یا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنیم و برای رسیدن به این منظور- بنا به عقیده فیثاغورثی‌ها- لازم است كه از الگوهای خشتی موجود در نماد سومری‌ «كوه»‌تبعیت نماییم و سپس مانند سقراط دلالتهای هارمونیك تئوری اعداد مربوط به موسیقی را به صورت سنگریزه‌های مثلث شكل یا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنیم و برای رسیدن به این منظور – بنا به عقیده فیثاغورثی‌ها- لازم است كه از الگوهای خشتی موجود در نماد سومری«كوه» تبعیت نماییم و سپس مانند سفراط دلالتهای هارمونیك تئوری اعداد مربوط به موسیقی را به صورت دایره‌ای بر روی شن به تصویر درآوریم. این دایره همان جهان یا كیهان است كه همانند صداهای گام 12 درجه‌ای تا ابد به صورت دایره‌ای خواهند بود.»

«مك كلین» با ذكر اعداد نمادین سومری كه كاركرد خدایان این تمدن را نشان می‌داد نسبت میان تقسیمات موسیقی با این اعداد و كاركردها را نشان می‌دهد. به عنوان مثال نماد عددی Ano به صورت 6060=1 در نظر گرفته می‌شد و خدایی چون ِِEnlil با نماد عددی 50 مبدع فاصله موسیقایی سوم بزرگ Major third با نسبت چهار پنجم و سوم كوچك Major third با نسبت پنج ششم محسوب می‌شود. Enki خدای آبهای شیرین و با نماد عددی 40، فاصله پنجم درست Perefect Fith كه فدرتمند‌ترین فاصله‌ها پس از اكتاو است را سبب می‌شود. خدایان دیگر نیز چون Sin، ٍShamash، ( یا شمس عربی)، Ishtar، nergal ، Baal و mardok هر كدام این قلمرو پذیرایی نقشی می‌شوند، نقشی كه از ارتباط گسترده میان الهیات ، ریاضیات و موسیقی حكایت می‌كند. «تئون ازمیری» متاثر از این دیدگاه گفته بود: «اعداد سرچشمه‌های شكل و وانرژی‌اند در جهان. آنها حتی در نزد خود پویا و فعالند، چونان اغلب مردم در استعداد خود برای تئاتر متقابل.»

در تاثیر پذیری فیثاغورثیان از هندسه و حساب سومری و نیز تاثیر پذیری افلاطون از این حساب و هندسه و همچنین قدسی انگاشتن عدد نزد فیثاغورث و فیثاغورثیان شكی وجود ندارد.

افلاطون در رساله تیمایوس Timaeu فرضیات جهان شناسی خود را ارائه كرده است. در این رساله «جای سقراط را یك تن فیثاغورثی گرفته است و قسمت عمده نظریات مكتب فیثاغورثی در آن بیان شده است.»

تاثیر پذیری افلاطون از حساب و هندسه سومری و فیثاغورثی كه نقش مهمی در نظریات موسیقایی او داشت در این رساله مشهود است:« تیمایوس می‌گوید كه عناصر حقیقی جهان مادی خاك و هوا و آتش و آب نیستند بلكه عناصر حقیقی عبارتند از دو نوع مثلث قائمه الزاویه: یكی مثلثی كه نصف مریع است و دیگری مثلثی كه نصف مثلث متساوی الاضلاع است. در آغاز همه چیز درهم ریخته بوده و عناصر گوناگون پیش از آن كه نظم و آرایش یابند و جهان را پدید آورند در جاهای گوناگون بوده‌اند ولی سپس خدا آنها را با شكل و عدد آرایش داد و آنها را كه خوب و زیبا نبودند تا سر حد امكان خوب و زیبا ساخت، گویا آن مثلثهایی كه در بالا یاد كردیم زیباترین شكلهایند بدین سبب خدا آنها را در ساختن ماده به كار برد. با این مثلثها چها تا از احجام منتظم پنج گانه را می‌توان ساخت و هر یك از اتمهای چهار عنصر اصلی یكی از آن احجام منتظم است. اتم خاك شش سطحی، اتم آتش چهار سطحی، اتم هوا هشت سطحی و اتم آب بیست سطحی است.»

بحث بر سر صحت یا عدم صحت فرضیات افلاطون نیست، راسل در تاریخ فلسفه غرب می‌گوید: «رساله تیمایوس بیش از همه آثار افلاطون حاوی مطالب احمقانه است» اما در عین حال نمی‌تواند به جدی بودن برخی مطالب او اقرار نكند: « مشكل بتوان تشخیص داد كه در رساله تیمایوس چه چیزهایی را باید به جد گرفت و چه چیزهایی را باید بازی خیال انگاشت. به نظر من شرح خلقت و پدید آمدن نظم از بی نظمی را باید كاملا به جد گرفت. همچنین است تقسیم بندی چهار عنصر و رابطه آنها با احجام منتظم و مثلثهایی كه آنها را تشكیل می‌دهند.»

همچنین رابرت لولر در كتاب ارزشمند خود تحت عنوان «هندسه مقدس» نسبت میان هندسه قدسی و موسیقی از دیدگاه افلاطون را چنین روایت می‌كند: «شاید به خاطر تامل در قوانین وساطت است كه شخص می‌تواند رابطه بنیادین میان هندسه و موسیقی را از قراری كه افلاطون در نامه هفتم خود می گوید- و بیش از هر علم دیگر به آن احترام می‌گذارد- اجمالا ببیند و شاید به همین دلیل است كه مصریات دو هرم بزرگ را در جیزه ساخته‌اند كه یكی از آنها تنها مثلثی است كه اضلاعش یكی در تصاعد هندسی و دیگری در تصاعد 5،4،3 حساب است. در عصر ما «سایمون ویل» از اهمیت این علم به عنوان اصلی فلسفی برای عرفان عیسوی یاد می‌كند

منبع:http://dadmanesh.blogfa.com

آنالیز مختلط

2010-03-13T02:56:16+01:00

آنالیز مختلط یا نظریه توابع، نام مبحثی در ریاضیات است که خود را با توابع مشتق‌پذیر با مقادیر مختلط مشغول می‌کند.

مفاهیم و قضیه‌های اساسی

تابع مختلط

تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی از فضای به فضای می‌باشد.

مشتق‌پذیری

به تابعی که مختلط مشتق‌پذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته می‌شود و آن زمانی است که حد زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه $z 0$ وجود داشته باشد. در اینجا مسلما $z$ یک مقدار مختلط است.

تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست می‌آید. :

فرمول کوشی

فرمول انتگرال کوشی یا به طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحلیلی باشد، صادق است:

در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام می‌پذیرد که تابع در آن مشتق‌پذیر است.

بسط دادن

بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحلیلی، همیشه امکان‌پذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز می‌توان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.

جزوه ریاضی2

2010-03-08T06:37:05+01:00

توابع برداری قسمت دوم

دوشنبه 17/12/1388

برای دانلوداینجا کلیک کنید.

پارادکس راسل

2010-03-01T06:19:11+01:00

(Russell Bertrand)

لرد برتراند آرتور ویلیام راسل فیلسوف و ریاضیدان انگلیسی(1872-1970) است که از جمله افراد روشنفکر و متفکر عصر خود بود. او برای جلوگیری از آزار زنان و حق تحصیل آنها مبارزات زیادی انجام داده است. همچنین او برنده جایزه نوبل در ادبیات شده است و یک ریاضیدان برجسته بود.او معتقد بود ریاضیات از منطق قابل تفکیک نمی باشد و به این دلیل فکر مدرسه منطق را بنیان گذاشت.
او به همراه آلفرد وایتهد تلاش کرد سیستمی را در منطق ابداع کند که ریاضیات مبتنی بر آن باشد. نتیجه این تلاش کتابی به عنوان Principal Mathematics در سه جلد شد. اگر چه بعدها گودل نشان داد که چنین تلاشهایی محکوم به فنا است و چنین سیستمهای منطقی کار آمد نخواهند بود.
نامه ای که راسل به همکار خود فرگه فرستاده است بسیار مشهور است او این نامه را در بهار سال 1901 هنگامی که فرگه روی اثر خود یعنی اصول ریاضیات کار می کرد فرستاد که در آن نامه پارادکسی را مطرح کرد که بعدها به نام پارادکس راسل شناخته شد و میتوان گفت از مشهور ترین پارادکس های تاریخ ریاضیات است. پارادوکس او چنین بود: آیا مجموعه همه مجموعه هایی که عضو خودشان نمی باشند عضوی از خودش است یا نه؟!
به عبارت دیگر مجموعه‌ی R را مشتمل بر همه‌ی مجموعه‌هائی در نظر بگیرید که عضو خودشان نیستند.یعنی:

حال آیا R عضوی از خودش است یا خیر؟
1-اگر R عضوی از خودش باشد، پس واجد شرایط اعضای R است، یعنی عضو خودش نیست!
2-اگر R عضوی از خودش نباشد، پس واجد شرایط اعضای R نیست، یعنی عضو خودش است!!
این‌جا نیز روشن نیست که در نهایت این مجموعه (یعنی R) عضو خودش هست یا خیر؟

صورتهای گوناگونی از این پارادکس وجود دارد به عنوان مثال یک شکل ساده آن به این صورت است:

«فرض کنید که در یک شهر آرایشگری وجود دارد که فقط و فقط سر کسانی را اصلاح می‌کند که خودشان سر خود را اصلاح نمی‌کنند، به علاوه هر کسی که خودش سر خود را اصلاح نمی‌کند، سرش را پیش این آرایشگر اصلاح می‌کند! حال به عقیده‌ی شما این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح می کند یا خیر؟ پاسخ بسیار حیرت انگیز است:

اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح نکند، پس در زمره‌ی افرادی که سر خودشان را خود اصلاح نمی‌کنند قرار دارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح می‌کند!

اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح کند، پس در زمره‌ی افرادی که سر خودشان را اصلاح نمی کنند قرار ندارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح نمی کند!

و در حقیقت روشن نیست که در نهایت این آرایشگر با سر خود چه می‌کند! اصلاحش می کند یا خیر؟

شاید بتوان گفت این پارادکس مشهور ترین پارادکس تاریخ ریاضیات است. این پارادکس منجر به تحولات بسیار زیادی در منطق ریاضیات و فلسفه (ریاضی و غیر آن) شد. یکی از مهمترین این تحولات تغییر نگرش ریاضی‌دانان نسبت به مفهموم مجموعه بود، چرا که راسل نشان داد علت مواجه با این پارادکس، تعریف ناسازگاری است، که از مفهوم مجموعه در ذهن ریاضی‌دانان وجود دارد.

عددنویسی ارمنی

2010-02-16T07:10:03+01:00

سیستم اعداد ارمنی یک نظام تاریخی از شماره‌ها است که در زبان ارمنی قدیم استفاده می‌شد. امروزه در زبان ارمنی از سیستم اعداد هندی (به شکل اعداد زبان‌های اروپایی) استفاده می‌شود.

سامانه اعداد ارمنی با بهره‌گیری از گروهی از حروف بزرگ الفبای ارمنی تنظیم شده بود. در آن سیستم نمادی برای عدد صفر وجود ندارد. در جدول زیر اعداد ارمنی و برابرهایشان مطابق سیستم هندی (به شکل اعداد عربی) را می‌بینید. این جدول می‌تواند برای کسانی که به مطالعه دست‌نوشته‌های کهن ارمنی می‌پردازند سودمند باشد.

اعداد ارمنی
ارمنی	آوانویسی برپایه ارمنی غربی	آوانویسی برپایه ارمنی شرقی	عربی
Ա	ayp	ayb	۱
Բ	pen	ben	۲
Գ	keem	gim	۳
Դ	ta	da	۴
Ե	yech	ech	۵
Զ	za	za	۶
Է	eh	eh	۷
Ը	uht	et	۸
Թ	toh	to	۹
Ժ	zhe	zhe	۱۰
Ի	eenee	ini	۲۰
Լ	lyoon	liwn	۳۰
Խ	kheh	xeh	۴۰
Ծ	dza	ca	۵۰
Կ	gen	ken	۶۰
Հ	ho	ho	۷۰
Ձ	tza	ja	۸۰
Ղ	ghad	ghad	۹۰
Ճ	djeh	cheh	۱۰۰
Մ	men	men	۲۰۰
Յ	hee	yi	۳۰۰
Ն	noo	now	۴۰۰
Շ	sha	sha	۵۰۰
Ո	vo	vo	۶۰۰
Չ	cha	cha	۷۰۰
Պ	beh	peh	۸۰۰
Ջ	cheh	jheh	۹۰۰
Ռ	ra	ra	۱۰۰۰
Ս	seh	seh	۲۰۰۰
Վ	vehv	vew	۳۰۰۰
Տ	dyoon	tiwn	۴۰۰۰
Ր	reh	reh	۵۰۰۰
Ց	tzo	co	۶۰۰۰
Ւ	hyoon	yiwn	۷۰۰۰
Փ	pyoor	piwr	۸۰۰۰
Ք	keh	keh	۹۰۰۰

توجه داشته باشید که دو حرف آخر الفبای ارمنی یعنی اُ (Օ) و فِ (Ֆ) پس از رواج اعداد هندی در میان ارمنی‌ها، به الفبای ارمنی افزوده شد. به همین خاطر این به دو حرف ارزش عددی اختصاص داده نشده. افزودن این دو حرف به الفبا بخاطر آسان‌سازی واجنویسی از دیگر زبان‌ها صورت گرفت.

نمونه‌ها:

‎

ՌՋՀԵ = ۱۹۷۵ = ۱۰۰۰ + ۹۰۰ + ۷۰ + ۵
ՍՄԻԲ = ۲۲۲۲ = ۲۰۰۰ + ۲۰۰ + ۲۰ + ۲
ՍԴ = ۲۰۰۴ = ۲۰۰۰ + ۴
ՃԻ = ۱۲۰ = ۱۰۰ + ۲۰
Ծ = ۵۰